Fisica e Musica: come si costruisce una scala musicale

In questo primo articolo di Fisica e Musica vediamo come si costruisce una Scala Musicale secondo il temperamento equabile…

L’Arte è la massima espressione della capacità produttiva dell’uomo.

Nelle sue prime accezioni, infatti, l’Arte era concepita come “la capacità di fare qualche oggetto”, concetto che mantiene memoria ancora oggi di questo significato nel termine artigiano. Nel corso dei secoli, e con l’evoluzione dei canoni Estetici, la concezione di Arte è stata poi sublimata, invero attraverso percorsi filosofici a volte “tortuosi”, sino al significato che ne diamo oggi. In questo contesto, per quanto concerne la cultura Occidentale, la Musica gode di piena cittadinanza essendo l’unica Arte che è sempre passata indenne tra le varie classificazioni delle discipline artistiche, dal periodo ellenistico sino ai giorni nostri. Ad ogni modo, l’Arte non è solamente ispirazione ma essa presuppone anche la conoscenza dei princìpi (fisici, matematici, estetici, ecc.) e dei canoni che connotano le discipline stesse, frutto questi della continua ricerca per giungere alla espressione perfetta di ogni forma artistica.

La Musica rappresenta l’Arte dei suoni, delle loro combinazioni e del loro sviluppo armonico e melodico.

Tale esercizio si basa sulla conoscenza dei rapporti tra i suoni, delle relative consonanze e dissonanze tra gli intervalli e delle conseguenti prassi compositive che nei secoli si sono sviluppate. In musica la scala maggiore rappresenta la base per ogni analisi armonica per cui la sua costruzione rappresenta le fondamenta sulle quali poggia l’edificio compositivo musicale. Nel corso dei secoli, limitatamente alla musica Occidentale, sono state impiegate diverse scale secondo criteri numerici e gusti armonici differenti. Si citano brevemente la scala pitagorica e quella naturale, per esempio. Non è oggetto di queste poche righe il confronto, la critica e la storia sulla scala naturale, la scala pitagorica e i vari metodi di correzioni (temperamenti) che si sono succeduti nel tempo. Ci limiteremo qui a descrivere la costruzione della scala maggiore secondo il temperamento equabile che è quella adottata oggi.

La scala musicale

Il suono è la tramissione di energia vibrazionale di un corpo vibrante attraverso un mezzo elastico. Matematicamente esso viene razionalizzato tramite funzioni periodiche (funzioni “seno” generalmente) e rappresentato quindi come un’onda. La frequenza (il numero di volte che un’onda si ripete per unità di tempo), caratterizza l’altezza del suono e viene spesso indicata con la lettera greca ni oppure con f. La costruzione degli intervalli di una scala musicale si basa sul rapporto delle frequenze caratterizzanti i suoni dei vari gradi usando come riferimento la tonica della scala. Una scala musicale è una successione di suoni correlati tra loro tramite una relazione numerica. L’altezza di ogni suono dipende dalla sua frequenza e la distanza tra due suoni nella scala si chiama intervallo. L’intervallo tra due suoni, quindi la loro distanza, si misura come rapporto k = f1/f2 definendo con f1 e f2 le frequenze dei rispettivi suoni con la condizione che: f1 >f2.

La scala maggiore nel temperamento equabile

Traiamo profitto da queste scarne nozioni per ottenere la scala maggiore secondo il temperamento equabile. L’intervallo di riferimento sia quello di ottava: in questo intervallo il rapporto k tra le frequenze dei due suoni è uguale a due. Quindi, raddoppiando la frequenza si ottiene un intervallo di ottava. Definiamo il semitono come l’intervallo minimo della scala. Nel temperamento equabile l’intervallo di ottava viene diviso in “parti uguali” e in particolare: in dodici semitoni della stessa ampiezza. Quindi: “12 semitoni =1 ottava”.

Ricordando che l’intervallo tra due suoni è stato definito come il rapporto k tra le frequenze dei suoni che formano l’intervallo. Poichè nel temperamento equabile, tutti gli intervalli di semitono devono essere uguali per definizione, tutti i rapporti k che caratterizzano questi intervalli risultano numericamente eguali. In forma simbolica possiamo scrivere: Do#3/Do3=Re3/Do#3=Mib3/Re3=…=Do4/Si3=k.

Infine: poichè l’ottava corrisponde ad un rapporto di frequenze 2:1, e sapendo che le frequenze non si sommano ma si moltiplicano, un intervallo di ottava si può esprimere come il prodotto dei 12 intervalli equali di semitoni con la condizione che il riusltato finale di questo prodotto deve corrispondere esattamente a 2, ovvero l’intervallo di ottava. Questo si esprime algebricamente come: k·k·k·k·k·k·k·k·k·k·k·k=k12=2. Risulta allora che il valore di un semitono temperato è dato da: k=12√2.

Possiamo concludere che partendo dalla tonica, i dodici intervalli che compongono l’ottava sono caratterizzati dai seguenti numeri irrazionali:

Do3, k=1; Do♯ o Re♭, k=122; Re, k=1222; Re♯ o Mi♭, k=1223; Mi, k=1224; Fa, k=1225; Fa♯ o Sol♭, k=1226; Sol, k=1227; Sol♯ o La♭, k=1228; La, k=1229; La♯ o Si♭, k=12210; Si, k=12211; Do4, k=2.

Dove la potenza del numero sotto radice si riferisce al numero di semitoni di distanza rispetto alla tonica. In questo caso la tonica è il Do3, ma la stessa serie si presenta con qualsiasi nota scelta come tonica.

La successione ora illustrata permette quindi di ottenere le frequenze di tutti gli intervalli, partendo dalla frequenza della tonica, come illustrato nell’esempio seguente:

Sapendo che per Do3 la sua frequenza è fDo3=261.6 Hz, determiniamo la frequenza fMi corrispondente all’intervallo di terza maggiore. Dalla successione precedente vediamo che il Mi, nella scala maggiore, è distante dalla tonica k=1224 semitoni per cui: fMi= fDo3∙1224= 261.6 Hz ∙1.26= 329.6 Hz che è proprio la frequenza reale del Mi nel temperamento equabile moderno.

In sintesi: i gradi di una scala sono espressi come rapporto tra le frequenze degli intervalli della scala. L’intervallo di ottava è caratterizzato sempre dallo stesso rapporto di frequenze che è uguale a due. Nel temperamento equabile, tale intervallo viene diviso in dodici semitoni di eguale ampiezza. Questo implica che il rapporto caratterizzante un semitono è caratterizzato dal numero irrazionale: 122n (dove n=1); per intervalli superiori il numero n aumenta di una unità per ogni semitono di distanza. Conoscendo quindi la frequenza della tonica è possibile determinare la frequenza f della nota corrispondente all’intervallo desiderato, una volta noto il numero di semitoni che separano le due note.

La scala maggiore nel temperamento equabile è uno degli ultimi passi di una secolare ricerca di risoluzione dei problemi, in particolare quelli riguardanti il cambiamento di tonalità, che si riscontravano nella scala naturale e nella scala pitagorica. Ogni algoritmo di costruzione della scala ha i suoi vantaggi e svantaggi. Come già accennato, non è compito di queste poche righe esaurire un argomento così fondamentale e vasto, sia storicamente che tecnicamente, per il quale si auspicano occasioni future di approfondimento.

Alberto Casella

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Di Fisica e Musica leggi anche:

Fonti:
http://it.wikipedia.org/wiki/Arte
Renato Dionisi – Armonia Complementare – pag. 15 – Ed. Curci -Milano – 1954
http://www.lanaturadellecose.it/sonia-cannas-289/matematica-e-musica-290/il-sistema-temperato-equabile-368.html
http://fisicaondemusica.unimore.it/Temperamento_equabile.html

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