Scala Pitagorica: come si costruisce la scala musicale di Pitagora

Nell’articolo “Fisica e Musica: come si costruisce una scala musicale” abbiamo visto come si costruisce una scala maggiore. Oggi parliamo invece della Scala Pitagorica…

Nel post precedente di Fisica e Musica è stata illustrata la modalità di costruzione della scala maggiore nel temperamento equabile secondo il paradigma di suddivisione dell’ottava in 12 semitoni equivalenti. Ora vediamo la Scala Pitagorica.

In ordine cronologico, nel contesto dello sviluppo della musica occidentale, il sistema tonale equabile è l’ultimo traguardo di un’evoluzione (e di una forte dialettica epistemologica) che ha visto anche come principali “protagonisti” il sistema tonale pitagorico e quello naturale (o zarliniano). Poichè tratteremo scale che presenteranno valori assoluti degli intervalli leggermente differenti tra di loro, si rende necessario introdurre una grandezza di intervallo, più sensibile dell’intervallo di semitono, tale da permettere un confronto omogeneo tra le varie scale. La definizione si basa sulla suddivisione dell’ottava in 1200 intervalli uguali detti: “cent”. (trascuriamo qui la ratio di questa definizione accettandola in modo assiomatico). Da un punto di vista strettamente musicale, questa suddivisione dell’ottava comporterebbe una scala con 1200 semitoni e una tastiera con egual numero di tasti! Ovviamente l’utilità del cent è più matematica che musicale. Nel caso di semitono temperato, che in termini matematici si esprime come ¹²√2 (che è un numero irrazionale), per definizione, tale valore è equivalente a 100 cent, per cui: ¹²√2=100.

Quest’ultima espressione ci indica che il semitono temperato, che musicalmente è il più piccolo intervallo ammesso nel temperamento equabile, non è in termini assoluti un “quantum minimum” musicale, cioè il più piccolo intervallo in assoluto e infatti sono possibili ulteriori suddivisioni di esso. Anche gli intervalli di semitono delle altre scale godono di questa proprietà. Una conseguenza di ciò è immediatamente percepibile nella sensazione di suono crescente o calante: questo avviene quando il suono emesso non vibra alla frequenza attesa, bensì nel limbo delle infinte frequenze che giacciono nell’intervallo di semitono (sia esso superiore o inferiore), indipendentemente a quale scala esso appartenga.

Costruzione della Scala Pitagorica

La costruzione della scala pitagorica si basa su due intervalli solamente: quello di ottava che, come già introdotto (vedi Fisica e Musica: come si costruisce una scala musicale), corrisponde ad un rapporto di frequenze di 2/1 e quello di quinta ascendente che, in questo contesto vale un numero razionale uguale a 3/2. In alcuni casi si usa anche l’intervallo di quarta (4/3) ma è più ortodosso considerare tale intervallo come una quinta discendente. Dati allora i rapporti 2/1 e 3/2, se prendiamo una tonica (es:Do₃) e la moltiplichiamo per 3/2 otteniamo la relativa quinta. Se adesso quest’ultima quinta ottenuta viene ulteriormente moltplicata per 3/2 otteniamo la quinta della quinta. In sintesi: partendo da Do₃ abbiamo ottenuto il Sol₃ e dopo il Re₄. Il procedimento si ripete sino a quando non si completa il giro e si ritorna alla tonica di partenza, dopo opportuna scalatura di ottave. E’ da notare, infatti, che già la seconda quinta (Re₄) si trova oltre l’ottava relativa alla tonica, per cui la sua frequenza deve essere divisa per due, per ottenere l’analogo tono un’ottava sotto.

Non è un circolo di quinte

L’algoritmo di costruzione della scala prevede quindi la moltiplicazione della frequenza della tonica per 3/2 per ottenere la quinta e la successiva divisione per 2 se la quinta ottenuta giace oltre l’ottava di riferimento: si costruisce la scala per circolo di quinte… almeno così parrebbe! Il risultato di questi passaggi, infatti, è che ciò che pare essere una costruzione per circolo di quinte ascendenti è in realtà una elicoide di quinte, ovvero: non chiude perfettamente. In una chiusura perfetta, l’ultima nota del circolo dovrebbe coincidere con la tonica di partenza, il che equivale a dire che tale nota dovrebbe avere una frequenza, rispetto alla tonica, di (2)ⁿ, ovvero si troverebbe ad un certo numero “n” di ottave di distanza. Nella scala pitagorica però la serie delle quinte ascendenti si basa sul rapporto 3/2; quindi l’ultima nota che dovrebbe chiudere il cerchio avrà una frequenza di (3/2)ⁿ, questo procedendo in modo ascendente e omettendo di dividere per 2 per posizionare la nota nell’ottava della tonica di riferimento. Sfortunatamente non esiste nessun numero “n” intero per il quale: (3/2)ⁿ =(2/1)ⁿ.

Questa discrasia fa sì che il suono ottenuto con le ascese di quinta sia leggermente crescente di 23.46 cent (comma pitagorico), ovvero circa 1⁄4 di semitono temperato rispetto al medesimo suono che si otterrebbe per sovrapposizione di ottave. Per esempio: se usiamo il Do come tonica, la mancata chiusura del circolo fa sì che le note Do♯ e Re♭ non coincidano come invece accade nella scala equabile dove questi suoni sono considerati omofoni (o enarmonici). In pratica, quindi, possiamo ottenere un numero infinto di frequenze.

Scala Pitagorica Diatonica

Senza indugiare oltre sui dettagli algebrici, diciamo allora che la soluzione a questo problema si ottiene troncando ad un certo punto la serie delle quinte ed estrapolando da tale serie le note più opportune secondo criteri di consonanza: questo porta alla formazione della scala pitagorica diatonica formata solamente da sette note che oggi conosciamo come Do, Re,…, Si.

Così costruita, la scala pitagorica diatonica è caratterizzata da due soli intervalli: il tono pitagorico (equivalente a circa 204 cent) e il semitono pitagorico o limma (equivalente a 90 cent). Ricordando che la scala equabile si basa sulla eguale suddivisione dell’ottava in 12 semitoni uguali, e quindi un tono è praticamente il doppio di un semitono ovvero 200 cent, per confronto abbiamo un ulteriore conferma che gli intervalli nella scala pitagorica non sono equamente suddivisi. In particolare: il paragone fra gli intervalli delle due scale ci permette di riconoscere come il tono pitagorico sia leggermente crescente rispetto a quello temperato (di circa 4 cent = circa 1/20 di semitono equabile) mentre il limma risulta essere calante di 10 cent (1/10 quindi) rispetto all’analogo semitono equabile. La scala diatonica presenta il vantaggio che tutti gli intervalli di ottava e di quinta siano perfettamente consonanti essendo stati costruiti su rapporti di numeri piccoli interi. Di contro, gli intervalli di terza e sesta risultano dissonanti.

Scala Pitagorica Cromatica

Una parziale soluzione a quest ultimo svantaggio risiede nella costruzione di una scala pitagorica cromatica, ottenuta estendendo il gruppo di note estrapolate dalla serie delle quinte sino a 12. Vengono così aggiunte cinque note, che oggi noi riconosciamo come alterate, che nel caso della scala di Do sono: Do♯,Fa♯,Sol♯,Si♭,Mi♭. A causa del comma pitagorico le note alterate qui elencate non sono sostituibili da quelli che oggi definiamo omofoni per cui: Do♯ e non Re♭, Sol♯ e non La♭, ecc. Con la scala pitagorica cromatica si riduce la distanza tra gli intervalli di tono e semitono, non ancora però tali da permettere appunto la produzione di omofoni, rendendo comunque i gradi consecutivi della scala sufficientemente uniformi. Rimangono comunque ancora delle leggere dissonanze tra gli intervalli di terza e di sesta, così come nell’intervallo di quinta per le note alterate

Sol♯-Mi♭. La persistenza di queste residue dissonanze, e la mancanza di omofoni, rende la scala pitagorica scarsamente applicabile ad un sistema musicale tonale basato sulle modulazioni.

Con l’introduzione della scala pitagorica e di quella temperata equabile abbiamo fissato i capisaldi storici, rispettivamente l’inizio e la fine, che hanno caratterizzato l’evoluzione della musica Occidentale: all’incirca una storia lunga 1600 anni, se convenzionalmente consideriamo come incipit storico le prime organizzazioni musicali liturgiche secondo il Canone Ambrosiano. In mezzo, una dialettica sui sistemi tonali che ha influenzato lo sviluppo della cultura Occidentale, non solo da un punto di vista musicale, e che ha visto coinvolte anche famose menti del passato quali: Leonardo, Galileo, Keplero, Newton, per citarne solo alcune. Diventa necessario quindi, arrivati a questo punto, seguire l’evoluzione di queste vicende non prima di avere però introdotto l’ultima tra le scale maggiormente protagoniste che “hanno fatto la storia”: la scala naturale (o Zarliniana)… ovviamente non in questo post!

a cura di Alberto Casella